Basale begreber i sandsynlighed & statistik

Udfald: specifikt resultat af et eksperiment.

Stokastisk variabel: et tal som beskriver et uforudsigelig udfald.

Sandsynlighed: chance/risiko for at et udfald forekommer, eller hyppighed (dvs. hvor ofte udfaldet forekommer i en statistik).

Udfaldsrum: alle mulige udfald.

Sandsynlighedsfelt: sandsynligheden af hvert udfald i udfaldsrummet (summen giver altid 100%).

Store tals lov: hvis et eksperiment udføres nok gange, vil gennemsnittet af et givent udfald nærme sig udfaldets sandsynlighed.

Binomialfordeling: fordelingstendens som ofte opstår, f.eks. når der kastes med 2 terninger. Det midterste udfald er det mest sandsynlige, og jo længere man rykker fra midten, jo mindre sandsynligt er udfaldet.

Additionsprincippet (Kumuleret sandsynlighed): sandsynlighederne lægges sammen. Benyttes ofte ved brug af ordet: eller.

Multiplikationsprincippet: sandsynlighederne ganges sammen. Benyttes ofte ved brug af ordet: og.

Sandsynlighed & statistik generel teori

Når der arbejdes med sandsynlighedsregning, bør vi tænke ud fra en statistisk tendens. Man får f.eks. ikke 1/6 af hvert tal, når man kaster en terning, men i stedet et specifikt tal.

Dette skyldes at terningekastet giver os en stokastisk variabel, som vi IKKE kan forudse. Kaster man til gengæld terningen 100 gange, vil man cirka få hvert tal 1/6 af gangene.

Dette kaldes de Store Tals Lov; jo flere gange man udfører et eksperiment, jo tættere vil resultatet komme på en sandsynlighed.

For at få et overblik over sandsynlighederne for de enkelte udfald, kan man enten lave et tælletræ og/eller et sandsynlighedsfelt. Fordelingen af sandsynlighederne i sandsynlighedsfeltet kan opskrives i et søjlediagram, for at undersøge om det er en binomialfordeling.

Når man kombinerer sandsynligheder, skal man først bestemme om det er en kumuleret sandsynlighed eller ej. Det afgør om man bruger additionsprincippet eller multiplikationsprincippet. Dette er vigtigt, da forskellige sandsynligheder enten ganges eller lægges sammen, alt afhængigt af hvilken type det er. (Dette gælder både når man skal finde sandsynligheder, og ved kombinatorik).

OG / ELLER Sandsynlighedsopgaver

I følgende opgaver skal særligt fokusere på brugen af enten additionsprincippet eller multiplikationsprincippet.

1. Magdalena vil gerne slå en 3’er eller en 4’er. Hvad er sandsynligheden?

2. Asker vil gerne slå en 6’er og få krone ved møntkast. Hvad er sandsynligheden?

3. Fatima vil gerne slå en 5’er 2 gange i træk. Hvad er sandsynligheden?

Statistik & Sandsynlighedsregning gåder

Gamblerens fejlslutning

Gambler’s fallacy/Gamblerens fejlslutning: en gambler kaster en terning 10 gange. Han får en 6’er hver gang! Han tænker at det må være umuligt for han at få endnu en 6’er efter alt sit held, og at sandsynligheden derfor må være tæt på 0.

Gamblerens påstand er dog forkert! (Han er ikke matematikker, det er ikke hans skyld). Sandsynligheden for at han får en 6’er er altid 1/6, og påvirkes ikke af hans tidligere kast.

Monty Hall-problemet

Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged.

Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged.

Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?"

Er det nu en fordel af vælge om?

Monty Hall-problemet facit

Når man vælger sin første dør, har man med 2/3 sandsynlighed valgt en ged. Lad os antage dette. Dvs. en at bilen befinder sig iblandt de to andre døre. Når spilstyren åbner døren med geden i, så ved at den anden må være en bil, hvis vi altså valgte en ged til at starte med.

Siden vi har en 2/3 sandsynlighed for at have valgt døren med geden, bør vi bytte til den med bilen. Vi vil derfor vinde en bil 66% af gangene.

Excel simulationer og statistikopgaver

For at øve nogle statistikopgaver bruger vi Excel, så vi kan oprette tilfældige værdier i Excel og analysere dem i et søjlediagram.

Altid start med lighedstegn (=) når du laver matematik i Excel.

Vælg felter og tryk på indsæt, for at vælge det passende diagram. Benyt eventuelt kommandoen: SLUMPMELLEM(mindst;størst), for at slippe for at kaste en terning.

Dette kaldes en simulation, da du ikke kaster mange terninger, men i stedet for en computer til at simulere det.

Statistikopgaver i Excel

Opstil følgende eksperimenter i Excel:

Fra 1 til 100 terningekast (udfordrende opgave)

Opstil en stokastisk variabel mellem 1 og 6. Opstil derefter et søjlediagram over hyppigheden af hvert tal. Lav eksperimentet 1, 10, 20 og 100 gange, og vurder om de Store Tals Lov passer.

Binomialfordelte terningekast (endnu sværere opgave)

Opstil to stokastiske variabler, som hver er mellem 1 og 6. Opstil derefter et søjlediagram over summen af begge tal. Lav eksperimentet 100 gange, og vurder om det er en binomialfordeling.

Både Terninge- og møntkast (sværeste opgave)

Opstil en model over sandsynligheden for både at slå en 6’er og plat, og sammenlign resultatet med sandsynligheden du beregnede tidligere.