Differentialregning kan lyde svært, men det er faktisk ikke så svært, når man først knækker koden. Hvis du nogensinde har undret dig over, hvordan man måler hældningen på en graf eller finder ud af, hvor hurtigt noget ændrer sig, så er differentialregning din ven. 

Indholdsfortegnelse

1. Hvad er differentialregning?

2. Regler for differentialregning

3. Sådan finder du en differentialkvotient

4. Guide til tangenters hældning

5. Hvad er den anden afledte?

6. Kædereglen forklaret

7. Produktreglen i differentialregning

8. Differentialregning i Excel

Hvad er differentialregning?

Differentialregning handler om at finde ud af, hvor hurtigt noget ændrer sig i et bestemt punkt i et koordinatsystem. Tænk på det som at måle hældningen på en bakke. Hvis bakken bliver stejlere, ændrer hældningen sig. 

Et simpelt eksempel

Forestil dig, at du har en graf for en funktion, fx f(x)=x2f(x) = x^2. Hvis du vil vide, hvor stejl grafen er i punktet x=2x = 2, skal du bruge differentialregning til at finde hældningen der.

Resultatet? Den afledte funktion, som viser hældningen i alle punkter. For f(x)=x2f(x) = x^2 er den afledte funktion f′(x)=2xf'(x) = 2x. Ved x=2x = 2 er hældningen altså 4. Nemt, ikke?

Regler for differentialregning

Før vi hopper til eksempler, skal du kende de grundlæggende regler. Her er de vigtigste:

1. Potensreglen: Hvis f(x)=xnf(x) = x^n, så er f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n*x^{n-1}.

2. Konstantreglen: Hvis f(x)=kf(x) = k, så er f′(x)=0f'(x) = 0 (en konstant ændrer sig ikke).

3. Sumreglen: Hvis f(x)=g(x)+h(x)f(x) = g(x) + h(x), så er f′(x)=g′(x)+h′(x)f'(x) = g'(x) + h'(x).

4. Produktreglen: Hvis f(x)=g(x)⋅h(x)f(x) = g(x)*h(x), så er f′(x)=g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x).

5. Kvotientreglen: Hvis f(x)=g(x)h(x)f(x) ={g(x)}/{h(x)}, så er f′(x)=g′(x)⋅h(x)−g(x)⋅h′(x)h(x)2f'(x) ={g'(x)*h(x) - g(x)*h'(x)}{h(x)^2}.

6. Kædereglen: Hvis f(x)=g(h(x))f(x) = g(h(x)), så er f′(x)=g′(h(x))⋅h′(x)f'(x) = g'(h(x))*h'(x).

Sådan finder du en differentialkvotient

Differentialkvotienten er bare et fint ord for hældningen i et bestemt punkt. Du kan finde den ved hjælp af denne formel:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h -> 0}/{f(x + h) - f(x)}{h}

Et eksempel

Lad os tage f(x)=x2f(x) = x^2 og finde hældningen i x=2x = 2:

1. Start med formlen: f′(x)=lim⁡h→0(x+h)2−x2hf'(x) = \lim_{h -> 0}/{(x + h)^2 - x^2}{h}

2. Indsæt f(x)=x2f(x) = x^2: (2+h)2−22h/{(2 + h)^2 - 2^2}{h}

3. Udregn: 4+4h+h2−4h=4h+h2h/{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = /{4h + h^2}{h}

4. Forkort: 4+h4 + h

5. Lad h→0h \to 0: 44

Hældningen i x=2x = 2 er altså 4.

Guide til tangenters hældning

En tangent er en linje, der rører grafen i ét punkt. Hældningen på tangenten er det samme som differentialkvotienten i det punkt.

Hvordan finder du tangenthældningen?

1. Find den afledte funktion (f′(x)f'(x)).

2. Sæt den ønskede xx-værdi ind i f′(x)f'(x).

3. Resultatet er hældningen på tangenten i det punkt.

Eksempel

For f(x)=x3f(x) = x^3, find hældningen af tangenten ved x=1x = 1:

1. Den afledte funktion er f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2.

2. Sæt x=1x = 1 ind: f′(1)=3(1)2=3f'(1) = 3(1)^2 = 3.

3. Tangenthældningen er 3.

Hvad er den anden afledte?

Den anden afledte, skrevet som f′′(x)f''(x), viser, hvordan hældningen ændrer sig. Det kaldes også krumningen af grafen.

Eksempel

For f(x)=x3f(x) = x^3:

1. Førstefunktion: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2.

2. Anden afledte: f′′(x)=6xf''(x) = 6x.

3. Ved x=2x = 2 er f′′(2)=6(2)=12f''(2) = 6(2) = 12.

Det betyder, at hældningen ændrer sig hurtigt her.

Kædereglen forklaret

Kædereglen er genial, når du har en funktion indeni en anden funktion, fx f(x)=(2x+3)2f(x) = (2x + 3)^2.

Eksempel

1. Ydre funktion: g(x)=x2g(x) = x^2.

2. Indre funktion: h(x)=2x+3h(x) = 2x + 3.

3. Brug kædereglen: g′(h(x))⋅h′(x)g'(h(x))*h'(x).

4. Løsning:

   • g′(x)=2xg'(x) = 2x, så g′(h(x))=2(2x+3)g'(h(x)) = 2(2x + 3).

   • h′(x)=2h'(x) = 2.

   • Sammenlagt: 2(2x+3)⋅2=4(2x+3)2(2x + 3)*2 = 4(2x + 3).

Produktreglen i differentialregning

Hvis du har to funktioner, der ganges sammen, skal du bruge produktreglen.

Eksempel

Lad f(x)=x⋅exf(x) = x*e^x. Her er g(x)=xg(x) = x og h(x)=exh(x) = e^x.

1. Differentier g(x)g(x): g′(x)=1g'(x) = 1.

2. Differentier h(x)h(x): h′(x)=exh'(x) = e^x.

3. Brug produktreglen: g′(x)⋅h(x)+g(x)⋅h′(x)g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x).

4. Løsning: 1⋅ex+x⋅ex=ex+xex1*e^x + x*e^x = e^x + xe^x.

Differentialregning i Excel

Vidste du, at du kan bruge Excel til at lave differentialregning? Du kan fx finde hældninger ved at lave en tabel over xx- og yy-værdier og beregne forskelle mellem nabopunkter.

Trin for trin

1. Indtast xx-værdier i kolonne A.

2. Beregn yy-værdier med din funktion i kolonne B.

3. Brug formlen =(B2-B1)/(A2-A1) til at finde hældningen mellem punkter.

Det er ikke helt så præcist som algebra, men super nyttigt til hurtige beregninger!

Jeg håber, du nu føler dig mere sikker på differentialregning. Det er et værktøj, der gør komplekse ting simple – og det kan du bruge både i skolen og i virkeligheden.